• Il teorema di Pitagora

• Dimostrazione di Euclide
  
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• I teoremi di Euclide     
  
  
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  Wikipedia     

• I frattali     
  
  
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  Matematicamente.it       

Il teorema di Pitagora
 

Ovvero... in un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti è uguale al quadrato costruito sull'ipotenusa.

Il teorema di Pitagora nell'antichità

Si racconta, ma è leggenda, che Pitagora abbia scoperto il suo teorema mentre stava aspettando di essere ricevuto da Policrate. Seduto in un grande salone del palazzo del tiranno di Samo, Pitagora si mise ad osservare le piastrelle quadrate del pavimento. Se avesse tagliato in due una piastrella lungo una diagonale, avrebbe ottenuto due triangoli rettangoli uguali. Inoltre l'area del quadrato costruito sulla diagonale di uno dei due triangoli rettangoli risultava il doppio dell'area di una piastrella. Questo quadrato risultava infatti composto da quattro mezze piastrelle, cioè da due piastrelle. Ma i quadrati costruiti sugli altri lati del triangolo corrispondevano ognuno all'area di una piastrella.

In altre parole il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti. Questo risultava evidente nel caso della piastrella quadrata, cioè di un triangolo rettangolo isoscele: Ma poteva essere vero, si chiese Pitagora, anche nel caso generale, con cateti di lunghezza diversa?

Studiando meglio la figura ottenuta dall'osservazione delle piastrelle, Pitagora si accorse che il quadrato formato da quattro piastrelle si poteva scomporre in quattro triangoli rettangoli equivalenti e in un quadrato il cui lato era uguale alla lunghezza dell'ipotenusa di uno dei triangoli. Non fu quindi difficile passare al caso generale di quattro triangoli rettangoli qualsiasi, non più isosceli per i quali, come vedremo, vale ancora il teorema.

In realtà la storia del teorema è molto più complessa e le sue origini, come abbiamo già detto, risalgono almeno ad un migliaio di anni prima che Pitagora si dedicasse allo studio dei triangoli rettangoli. Per avviare la nostra indagine sul teorema partiamo dalla formulazione che ne diede Euclide:

In ogni triangolo rettangolo il quadrato del lato opposto all'angolo retto è uguale ai quadrati dei lati che contengono l'angolo retto.

Se lo riscriviamo in termini più moderni abbiamo l'enunciato riportato generalmente nei testi scolastici:

In ogni triangolo rettangolo il quadrato dell'ipotenusa (oppure: l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa) è equivalente alla somma dei quadrati dei due cateti (oppure: alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti).

Se c indica la lunghezza dell'ipotenusa e a e b quelle dei due cateti possiamo scrivere il teorema in forma algebrica:

a2 + b2  = c2

Il teorema di Pitagora era noto un tempo come "il ponte degli asini", il ponte che riusciva a superare soltanto chi dimostrava di possedere sufficienti attitudini per il pensiero astratto e per un metodo deduttivo da applicare a procedimenti matematici quali erano quelli proposti dai pitagorici.

Ecco come Einstein ricorda il suo primo incontro con il teorema:
Avevo 12 anni quando un mio vecchio zio mi enunciò il teorema di Pitagora e dopo molti sforzi riuscii a dimostrarlo. E’ stata un’esperienza meravigliosa scoprire come l’uomo sia in grado di raggiungere un tale livello di certezza e di chiarezza nel puro pensiero. E sono stati i Greci per primi ad indicarcene la possibilità, con la geometria.

Vediamo una delle dimostrazioni più semplici, quella che generalmente si trova sui testi scolastici e che riprende il ragionamento che Pitagora potrebbe aver fatto osservando le piastrelle quadrate nel palazzo di Policrate.

Dato il triangolo rettangolo ABC (Fig. 16),

di cateti a, b e ipotenusa c, costruiamo due quadrati equivalenti, che abbiano come lato la somma dei due cateti, a + b (Fig. 15). Scomponiamo il primo di questi quadrati nei due quadrati costruiti sui cateti e nei quattro triangoli di figura, equivalenti al triangolo dato. Scomponiamo poi il secondo quadrato nel quadrato costruito sull'ipotenusa e negli stessi quattro triangoli. Se ai due quadrati grandi togliamo i quattro triangoli equivalenti, otteniamo due parti equivalenti: i quadrati costruiti sui cateti e il quadrato costruito sull'ipotenusa.

Attenzione però: la dimostrazione non è ancora completa. E' necessario dimostrare ancora che le parti più scure sono realmente i quadrati dei cateti e dell'ipotenusa del triangolo dato. Per il primo quadrato a sinistra (Fig. 15) questo è evidente, dal modo in cui abbiamo eseguito la scomposizione, cioè, come si dice, per costruzione. Per il secondo quadrato a destra, sempre per costruzione, possiamo dire che i suoi lati sono uguali all'ipotenusa del triangolo. Resta da dimostrare che i suoi angoli sono retti. Consideriamo l'angolo a, che sommato agli altri due angoli aventi lo stesso vertice forma un angolo piatto. Ma anche la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a un angolo piatto, e quindi l'angolo a corrisponde al terzo angolo del triangolo, che è retto. Allo stesso modo si dimostra che anche gli altri angoli sono retti e quindi che la figura è un quadrato.
Molte dimostrazioni si basano semplicemente sulla scomposizione di aree in parti uguali. Una di queste potrebbe provare che anche in Cina il teorema "di Pitagora" era già noto almeno mille anni prima della nascita di Pitagora. E' collegata a una figura, che si trova nel Chou Pei Suan Ching (Fig. 17) uno dei più antichi testi cinesi di matematica, Il libro classico dello gnomone e delle orbite circolari del cielo, scritto al tempo della dinastia Shang, 1500 - 1000 a. C..

Questa figura potrebbe essere una dimostrazione del teorema di Pitagora, chiamato dai cinesi kou ku. Nel disegno di figura 17 si vede infatti un triangolo rettangolo di lati 3, 4 e 5 e un quadrato grande di lato 7 = 3 + 4.

Lo schema della figura 18 potrebbe aiutarci a ricostruire la dimostrazione originale che purtroppo è andata perduta. Come possibile percorso della dimostrazione possiamo partire dai quattro triangoli rettangoli, di cateti 3 e 4, collocati attorno al quadrato centrale di lato 1.

Se raddoppiamo i quattro triangoli, otteniamo il quadrato grande di lato 7. L'area di questo quadrato grande è di 49 unità al quadrato. Per avere l'area del quadrato piccolo e scuro, dobbiamo togliere l'area di quattro triangoli, ognuno dei quali ha area 6 x 4, cioè 49 - 24 = 25. Il lato di questo quadrato misura quindi 5 unità ed è l'ipotenusa del triangolo rettangolo di cateti 3 e 4.
Sempre in Cina Liu Hui, un grande matematico del terzo secolo d. C., diede una dimostrazione del teorema "di Pitagora" che è stata ricostruita da alcuni matematici moderni seguendo le indicazioni che è stato possibile ricuperare. Dice Liu Hui:

Siano il quadrato su kou [il cateto a] rosso e il quadrato su ku [il cateto b] blu. Usate il principio della mutua sottrazione e addizione di specie simili per inserire i resti, in modo che non ci sia alcun cambiamento nell'area con l'aspetto di un quadrato sull'ipotenusa.

Le dimostrazioni riportate in Fig. 18 sono graficamente molto belle e non hanno bisogno di spiegazioni. Risultano infatti evidenti le parti equivalenti in cui sono state scomposte le figure.
Anche dall'India arriva un enunciato del teorema di Pitagora che ci autorizza a pensare come il teorema fosse già noto agli indiani in epoche precedenti alla nascita di Pitagora. Si legge infatti nei Sulbasutra, i testi che contenevano le istruzioni per la costruzione degli altari, riportati in forma scritta fra l'800 e il 600 a. C.:

La fune tesa per la lunghezza della diagonale di un rettangolo forma un'area pari alla somma di quella formata dal lato verticale e da quello orizzontale.

Si parla ancora di funi e di problemi pratici. Ma la strada è aperta verso la matematica astratta.

Dall'Arabia (Fig. 21) arriva invece la dimostrazione di Thabit ibn Qurra Marwan al'Harrani (826 - 901):

I triangoli ABC, CEH, CEM, BGD, EGL, AFL sono tutti equivalenti. Inoltre osserviamo che il poligono ABDEF può essere scomposto in due modi diversi:

Dall'uguaglianza delle due relazioni e dall'equivalenza dei triangoli indicati, ricaviamo:

Pappo di Alessandria, nel quinto secolo d. C. propose una costruzione che è una generalizzazione del teorema di Pitagora, valida anche nel caso in cui il triangolo non sia rettangolo.

Dato un triangolo qualsiasi ABC, costruiamo sui suoi cateti i parallelogrammi BDEC e ACFG. Inoltre prendiamo il segmento IL uguale a HC e costruiamo il parallelogramma ABNM con i lati AM e BN paralleli e uguali a IL. Poiché due parallelogrammi con la stessa base e la stessa altezza sono equivalenti, abbiamo che BDEC è equivalente a BPHC e che quest'ultimo è equivalente a BILN. Quindi BDEC è equivalente a BILN. In modo analogo si dimostra che ACFG è equivalente a AMLI. La somma di BDEC e ACFG è dunque equivalente a AMNB.

A questo punto possiamo rivedere, con l'aiuto di uno schema (Fig. 23), il collegamento tra il teorema di Pitagora e la famosa tavoletta babilonese di cui parlavamo all'inizio del capitolo.

Il primo numero sulla diagonale è 1;24,51,10, dove il punto e virgola separa la parte intera dalla parte decimale ed è in notazione sessagesimale. Lo stesso numero nel sistema decimale è:

che è un valore approssimato della radice di 2.

Se il lato del quadrato è 1, la diagonale è la radice quadrata di 1^2 più 1^2, cioè di 2. Se il lato è 30, sarà naturalmente il prodotto di 30 per la radice quadrata di 2. DE

Ma la dimostrazione per eccellenza per i matematici è sicuramente quella di Euclide, riportata nel primo libro degli Elementi, proposizione 47:

Nei triangoli retti il quadrato del lato che sottende l'angolo retto è uguale alla somma dei quadrati dei lati che contengono l'angolo retto.

Questa dimostrazione fa riferimento a una figura (Fig. 24) che è stata battezzata, per la sua forma particolare, mulino a vento, coda di pavone o sedia della sposa. Vediamola nei termini usuali per uno studente, come la ritrova sul suo libro di geometria, nel capitolo dedicato ai teoremi di Euclide.

Dato il triangolo rettangolo ABC, costruiamo i quadrati sui suoi lati e tracciamo CL parallelo ad AD. I triangoli FAB e CAD sono uguali per il primo criterio di uguaglianza. Hanno infatti AB = AD perché lati dello stesso quadrato ABDE, inoltre AF = AC, perché lati dello stesso quadrato ACGF e gli angoli FAB e CAD sono uguali perché somma di un angolo retto e di un angolo in comune, l'angolo CAB. Abbiamo perciò:

Inoltre i triangoli CAD e AMD hanno la stessa base AD e la stessa altezza AM, e sono quindi equivalenti:

D'altra parte i triangoli FAB e FAC hanno anch'essi la stessa base AF e la stessa altezza AC, quindi sono equivalenti:

Il rettangolo ADLM è perciò equivalente al quadrato ACGF.

Allo stesso modo dimostriamo che il quadrato BKHC è equivalente al doppio del triangolo ABK e quest'ultimo a sua volta è equivalente al doppio del triangolo BCE, cioè al rettangolo BMLE:

Se sommiamo le due equivalenze abbiamo:

Abbiamo così dimostrato che

La dimostrazione di Euclide, oltre a far disperare ancora oggi tanti studenti, fece arrabbiare anche il celebre filosofo Arthur Schopenahuer, il quale accusò il grande matematico greco di aver costruito una figura che porta a una interminabile catena di passaggi e che sembra chiudersi su di noi come una “trappola per topi”. Schopenahuer presentò anche una sua dimostrazione, magnificandone, con la presunzione che lo contraddistingueva, la chiarezza e la semplicità. In realtà si tratta di una dimostrazione senza alcun valore, riguardante soltanto il caso particolare del triangolo rettangolo isoscele. Proprio quello che era stato il punto di partenza per Pitagora, lo studio delle piastrelle del palazzo di Policrate, ma soltanto un punto di partenza, per arrivare alla dimostrazione generale del teorema.

Fig. 26  Francobollo greco dedicato al celebre teorema.

per chi vuole approfondire

TE

I teoremi di Euclide Il primo teorema di Euclide:   «In un triangolo rettangolo il cateto è medio proporzionale tra la sua proiezione sull'ipotenusa e l'ipotenusa stessa»     Lo stesso teorema si può esprimere geometricamente come segue:   «In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni la sua proiezione sull'ipotenusa e l'ipotenusa stessa»     Il secondo teorema di Euclide:   «In un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa»     Il secondo teorema può anche essere espresso come:   «In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa» Gli assiomi di Euclide Tutta la geometria di Euclide (qualche migliaio di teoremi) si poggia su cinque postulati che il matematico Playfair (1795) espose nel seguente modo: È sempre possibile tracciare una retta tra due punti qualunque; È sempre possibile prolungare una linea retta; È sempre possibile costruire una circonferenza di centro e raggio qualunque (ossia è sempre possibile determinare una distanza maggiore o minore); Tutti gli angoli retti sono tra loro congruenti; Data una retta ed un punto esterno ad essa esiste un'unica retta parallela passante per detto punto. Il quinto assioma è meglio conosciuto come assioma di parallelismo ed è quello che distingue la geometria euclidea dalle altre. In funzione di come viene negato il quinto postulato esistono due diverse geometrie: quella ellittica (non esistono rette passanti per un punto esterno alla retta data ad essa parallele) e quella iperbolica (esistono almeno due rette passanti per un punto e parallele alla retta data).

per chi vuole approfondire

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Frattali

Frattale di Mandelbrot (Suggerita da Andrea Zanni) I frattali sono fra tutti gli oggetti matematici quelli che più impressionano anche chi di matematica non capisce assolutamente nulla. Si parte da una figura come quella qui a fianco (che è una rappresentazione dell'insieme di Mandelbrot, il frattale forse più famoso), e poi ci si abbandona nell'osservare le linee e i colori, alla ricerca di schemi che si ripetono sempre, ma su scale diverse. L'occhio è alla continua ricerca del confine della figura, ma non lo può trovare, perchè esso non esiste: se si ingrandisce l'immagine si scoprono sempre nuove insenature, sempre diverse ma sempre simili a quella iniziale. E' questa indefinitezza e autosomiglianza che definisce concettualmente quello che è un frattale. Ma cosa c'entra in questo discorso la matematica? C'entra eccome, perché i frattali sono degli oggetti matematici veri e propri, definiti in una maniera rigorosa attraverso delle formule. Lo studio della geometria frattale è tutto sommato abbastanza recente, ed inizia con Mandelbrot e Julia verso l'inizio del ventesimo secolo. Solo la potenza di calcolo fornita negli ultimi anni dall'avvento dei computer è però riuscita a mostrarci in tutti i loro dettagli questi straordinari oggetti. Le immagini che vediamo, infatti, sono solo una rappresentazione degli insiemi frattali, in cui ad ogni numero viene associato un colore. Ma il bello deve ancora venire! Infatti nonostante si possa pensare che un oggetto così complicato come un frattale necessiti di una formula particolarmente lunga e complessa per essere descritto, nulla è più lontano dal vero. Che ci crediate o no, la formula con cui viene generato l'insieme di Mandelbrot è la seguente: Si tratta semplicemente di quella che in analisi matematica è una parabola traslata rispetto all'origine di un termine noto c! L'incognita è indicata con z perché questa è la lettera che usualmente i matematici usano per i numeri complessi. Il frattale di Mandelbrot è infatti definito in un piano semicomplesso (due assi sono per la parte reale ed immaginaria dei numeri, e la rappresentazione avviene grazie all'uso di colori diversi). Il modo di procedere può essere molto brevemente descritto nel modo seguente: per ogni punto X del piano complesso, si pone c = X, e poi, a partire da z = 0 + i*0, si calcola iterativamente Z con la formula descritta sopra, fino a quando il suo modulo sqr(Re[Z]^2 + Im[z]^2) diventa maggiore di un certo valore G, che non è altro che la grandezza del quadrato all'interno del quale vogliamo rappresentare il frattale. Il numero di volte che bisogna iterare il procedimento prima di fermarsi è proprio il valore che associamo al punto scelto X, che quindi coloriamo in base ad una scala precedentemente definita (la ripetizione infinite volte è un colore!). Seguendo rigorosamente lo schema, grazie alla semplicissima formula Z=z*z+c, si crea un oggetto estremamente bello e complesso, che è proprio il frattale di Mandelbrot. Giusto per meravigliarsi ancora un po', qui sotto ci sono quattro zoom progressivi di una zona chiamata "Sea Horse" (Cavalluccio Marino), attraverso i quali si possono intuire ancora una volta quelle che sono le proprietà fondamentali dei frattali: l'autosomiglianza su scale diverse, e l'indefinitezza del confine. A titolo di curiosità, infine, se si invertissero i ruoli di z e c, ovvero fissato un generico c, per ogni punto X scelto si ponesse z = X e poi si iterasse il procedimento come sopra, si otterrebbe un altro insieme frattale molto noto: il frattale di Julia.

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